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なぜマイナスとマイナスをかけるとプラスなのか?【本質は逆再生です】

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ひょっとしたら

「なぜマイナスかけるマイナスがプラスになるのか」

という疑問は

数学に対する疑問ランキングトップかもしれない

それくらいメジャーな疑問ですね。


ちょっとこの疑問について納得いくまで考えてみようと思います。


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ですがそもそもマイナスの掛け算の話をする前に、


いくつものクリアしなければならない疑問があります。


掛け算ってなんだ?

負の数ってなんだ?

そもそも数ってなんだ?


私はこれらの話抜きにマイナスの掛け算の話はできません。



一般的な説明もざっと目を通しましたが、私は全く納得できませんでした・・・。


f:id:sakato0927:20190311115108p:plain:w70数直線で考えればわかるでしょ?


とか言われても、


f:id:sakato0927:20190314194953p:plain:w70「お、おう・・・(そうやけど)」


って感じ。

それで気がつけば5000文字。

かなりオリジナルな、変な思考かもしれませんがご容赦を。


そもそも数とは?


そもそも、数ってなんでしょうか?


いきなり答えですが、数の始まりは「数える」という行為でしょう。


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自分の指、もしくは小石などを用いて数えたいものと1対1対応させる。

これが数えるということです。


そうすれば、森の奥で見つけた果実が残りいくつだったかを、

持ち帰った小石の数で判断することができますね。


この1対1対応がおそらく、「数」という概念の最初です。


そのヒトの脳に何が起こったのかといえば、初めて

3つの果実

3つの小石

3本の枝

など、それまでバラバラだった対象に

「3」という共通項を見出したということです。


その段階ではまだ「数に名前をつける」というところまではいっていないかもしれません。


もし、数える時に右手の親指から順番に対応させていたのなら

そのうち、我々でいう1のことを「親指」

2のことを「人差し指」

3のことを「中指」と呼ぶようになったかもしれません。


もしくは何かを数えるときにいつも同じ小石を用いていたのなら、

その小石それぞれに名前をつけていたのかもしれません。


完全に想像ですが。


なんであれ「数える」という行為から、「数」という概念が生まれました


私の言いたいことをまとめます。


「数」という概念以前に、「数える」という行為(動作)がある


とりあえずそれだけ理解していただいて、先に進みましょう。

足し算とは?


同じように仮想的に概念の「生まれ」にまで立ち返って考えます。


足し算とはなんでしょうか?


足し算は、数えることの発展形です。


4 + 3


は、原始的には4つ数えることに加えて更にそこから3つ数えることです。


もうちょっと慣れてきて、もう数の概念があるのなら


4 + 3 は


「4」から3つ数える


と言う意味になります。


ここでは「4」はもう「数える」と言う動作から離れて「名詞化」しています。

そして「たす3」は「そこから更に3つ数える」と言う新たな「動作」です



なんとなく、流れが見えてきました。


ここで先に核心を言ってしまいましょう。


概念が発展していくということは、動作が名詞(概念)になっていくということです。


ピンときますでしょうか。

ここからは全てがその流れです。


動詞の名詞化 と言ってもよろしい。


なぜ、名詞化する必要があるのか?


当記事では、そこまで踏み込みますよ。


では、先に進みましょう。

引き算とは?


負の数に入る前に「引き算」の話をしなければならないです(だって動作ですからね)。


原始的には引き算とは何か?


またまた核心に迫りますが、

引き算の本質は時間を逆行することです。


足し算の本質は数えること、つまりカウントすることでしたね。

引き算はそれを巻き戻すこと、つまり

カウントダウン

が引き算です。


5 ー 3


は、5という数から「3つ数える」という行為を逆再生するということです。

逆再生と言っても、簡単な話でただカウントダウンするだけのことです。


「5 から 3 つ逆再生で数える」


が原始的な意味になります。

「ひく」という動作は、「数える」という動作の逆再生なのです。

負の数とは?


初等数学教育のひとつのヤマ場は「負の数」ではないでしょうか。


それまで素朴に

2たす3 とか 8ひく5 とかやっていたのが

急にこんな計算式が出現します。


(−3)+(−2)


これ、最初は戸惑った記憶があるでしょう?

みんな違和感を抱えたまま「そういうもんだ」として前に進んだことと思います。


急に「ひく」だったものが「マイナス」に変わります。


当時は「なんでやねん!」ってなったと思いますが、今ならなんとなくあたりがつきますか?


マイナスは「ひく」という動詞を名詞化したものです


いーち、にーい、さーん とカウントするのを省略したのが 「3」という数の概念の誕生だったのと同様、

さーん、にーい、いーち と逆再生でカウントするのを省略したのが「−3」という概念です。


わからなかったら戻してやればいいのです。


「−3」という「数」を「動作」に戻してやれば


「ひく3」です。


上記の式を全て動詞的に翻訳すれば


「ひく2」と「ひく3」という2つの動作をしなさい


というメッセージです。


スタートはゼロですので答えはマイナス5です。

実体としてイメージできない


負の数を目にしてまず思うことは

実体としての負の数をどうイメージしたらいいんだ?

ということだと思います。

「-3個のみかん」なんて存在しないじゃないか!!

って感じ。


これ、当然ですね。


だってそもそも動作を省略しているだけのことですから。


いーち、にーい、さーん とカウントすることを省略して名前をつけたのが「3」という概念です。

さーん、にーい、いーち とカウントダウンすることを省略して名前をつけたのが「−3」という概念です。


負の数の正体はカウントダウンの省略(抽象化、名詞化)です


掛け算とは何か?


もう少しです。

掛け算とは何か?


原始的には、足し算をまとめたものです。

3 * 8

は 「たす3」を8回せよ という命令です。


これもただの省略です。


(−3)*8 はどうか。

「ひく3」を8回やれ

ですね。

特に疑問はないですね。


ではこの論法で考えた時に


3*(ー8) はどうか。


これは

「たす3」を、逆再生で8回やれ

という意味です。


スタート位置はもちろんゼロです。

順再生の時は疑いなくゼロからスタートだったでしょう?

同じことです。


カウントアップができるのならカウントダウンはできます。

同じように、3*8 ができるのなら その逆再生もできるはずです。


一度、本当にイメージしてみるべきです。


時間を逆に進んでください。


動画の逆再生です。


どうですか?


すごく大変でしょう?(笑)


私たちは時間が順再生する世界でしか生きていません。

ですから、逆再生をイメージするのが非常に難しい。

カウントダウンくらい単純だったら難なくできますがね。


動詞を名詞化する理由


さてちょっと話を戻します。

なぜ、私たちはどんどん動詞を名詞化して行くのか。


その理由は「私たちは時間の逆再生に大変不慣れだから」です。


動詞、つまり「動作」には、必ず「時間」が伴います。


これを名詞化(概念化。省略とも言っていますね)してしまえば、

時間が消失するのです。


「マイナス」は「ひく」という動作から来て、

「ひく」という動作は「カウントダウン」、

つまり足し算という行為の逆再生から来ているわけです。


繰り返しますがカウントダウンというレベルなら難なくできます。

しかし、足し算が複雑化した掛け算において「マイナス」という逆再生がくると、

逆再生に不慣れな私たちは一気に思考が困難になります。


だから逆再生をできるだけ避けようとします。


そのためには名詞化すればいいのです。


(ー3)という数が存在することにしてしまうのです。


「ひく3」という動作ではなく「マイナス3」という数が存在することにするのです。

そしてその存在することにした数の性質を調べてルールを明確にすれば、動きを消し去ることができます。


そうすれば逆再生を避けることができます。


マイナス3個のみかんが実際には存在しないのは当然です。

時間は実際には逆再生しませんから。

しかし頭の中には存在します。

頭の中では時間の逆再生もできます。

みかんに接触するとお互いに消滅する反物質のような架空のみかんをイメージすることができます。

それが「マイナス3個のみかん」です。

それで矛盾が起こらなければそれで正解なのです。


こう考えれば、どこにも逆再生は出てきません。

順再生の世界観の中で矛盾なく処理することができます。



「ひく」という行為の名詞化は逆再生回避の工夫という見方ができるのです。


なぜマイナスとマイナスをかけるとプラスなのか


(ー3)*(ー8)


これまでのように動詞に戻して考えれば

逆再生の3カウント(カウントダウン)を、逆再生で8回行う

とうことです。


やりたくないですよね。


でも、本当に数学のはじめから愚直にその足跡をたどるのならこうなるのです。


一回順再生でイメージしましょう。

−1、−2、−3・・・

−4、−5、ー6・・・

8回です。


それをではそれを逆向きに再生してください(笑)

繰り返しますがスタート地点はゼロですよ。


そんな経験をするのも楽しいものですが、簡単に考えればいい。


時間の逆再生を2回やれば元に戻りますね。


だから、「マイナスとマイナスをかければプラスになる」。


覚えれば、一瞬です。

数学の遠大な歴史を一瞬でマスターです。


素晴らしいですね。

結論


なぜマイナスとマイナスをかけるとプラスなのか?


逆再生でカウントするという行為を何度か繰り返すという行為を、更に逆再生するからです。



なぜマイナスとマイナスを足してもマイナスなのか?

逆再生でカウントするという行為の後、そこに追加で逆再生でカウントするだけだからです。



逆にわけわからなくなりましたね(笑)



しかし概念の原初に立ち返ることで、納得感は生まれたかなと思います。



まぁ、少なくとも私はけっこう納得しています(笑)


ポイントは「ひく」の「取り去る」というイメージは、時間の逆行の結果だというところですね。