さかとの成長あるのみ!

地方在住アラサー男2代目社長兼 筋トレ健康オタクSakatoによる雑記雑食ブログ

なぜ三角形の内角の総和は 180度 なのか【三角形 = 平行でない3本の直線】

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どうも、納得不感症のさかとです。


『三角形の内角の総和は180度』って、学校で教えられたことがあると思います。

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https://media.qikeru.me/triangle-interior-angle/


どうですかこれ?

あなたは納得していますか?

例によって私、全然納得できてませんでして。


ほとんどの人は数秒で「そういうもの」として飲み込むのでしょうが、

私は錠剤が飲み込めないくらい喉が細いので無理です。


今回も例によって私が気持ちよくなるまで、しつこく考えてみようと思います。

教科書の説明


教科書的な説明では

錯覚・同位角を用いて、内角を一直線上に集めます

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https://labsolutionsusa.com/0003/0007.html

1直線上であれば当然180度です。


もちろんこの説明でも理解できますし、学校での問題は解けるのですが

全然、納得感がないんですね。

私がなんか気に入らないポイント


・補助線を使っている → なぜそんなものをつかわないといけない?必然性を感じない

・錯覚、同位角を用いている → 理屈はわかるが、どうにも直感的じゃない


というわけで、そういうものに頼らない、さらに直感的な説明を考えてみました。

さかと式解法


まず、

三角形ってなんぞ?

というところから入ります。

三角形の本質


1.平面


そもそも「三角形」っていうのは

平面上の話ですね。

3次元でも1次元でもなく、2次元の世界での話です。


2.3本の直線


そして、三角形とは

3本の直線によって

つくられます。

1本でも2本でも三角形にはなりませんね。


3.平行でない


そしてその3本の直線の有り様が3パターンあります


・3本とも平行な場合

・2本が平行な場合

・3本とも平行でない場合


この3本とも平行でない場合が三角形が存在する状況です。


そう考えていくと、この三角形というものは、

平面において3本の直線それぞれがどういう角度で交わっているか

で表すことができます。

これが、三角形の本質です。



ひとつの重要な例外


この3本とも平行でないパターンには例外がありまして、

それは3本ともが1点で交わる場合です。

この場合は三角形が存在しません。

点になっていますね。


ここでちょっと発想を飛ばしてほしいのですが、

その「点」はいわば「三角形の特殊なケース」なのです

その点が展開されたときに三角形が生じるのだと見ることができます。


三角形は、3本の直線が1点で交わっている状況のバリエーションに過ぎないのですよ。


三角形が点になった状況において、

それぞれの直線のなす角の和が1直線(=180度)であることは自明です!


そう考えれば、上記教科書の説明も納得です。

1点で交わらせるという三角形の本質である状況に変換したということです。

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https://labsolutionsusa.com/0003/0007.html


私の見方でいうと、展開されたものをもとに戻しているだけのことです。




納得できなかった原因は


つまり私が感じていた

「三角形の内角の総和が180度」と聞いたときの納得できない感じは、

「三角形の捉え方」が完全ではなかったことが原因といえます。


「三角形」と言われたときに想像するものが、

いわゆるトライアングルでイメージしているのがダメなのです。


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これは数学なのですから、

日常レベルの「三角形」という概念をより抽象的なレベルから捉えなければならなかったのです。

数学レベルでの三角形の捉え方


こんな感じでしょうか。


平行でなくかつ一点で交わっていない3本の直線が、

平面上の一部に描く領域


が、日常言語でいうところの三角形である、と認識していれば OK です。



ネットで調べていて素晴らしい表現だと思ったのがこれ

この三角形を遠くから眺めてみましょう。

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↑アニメーションになっています。
https://qiita.com/tomo64/items/d25c0435dfcc62154a43


1点で交わっている状況は、三角形をものすごく遠くからみた状況です(笑)

だからね

3直線が1点で交わっている状況こそが、

数学的には「三角形」なんですよ。



結論


これからは「三角形」と聞いたら

3直線が1点で交わっている状況

をイメージしましょう。


そのほうがより本質的であるように思います。




 納 得